Barisan Bilangan “Kelinci”

Oleh: Al Jupri

Perhatikan barisan bilangan berikut ini!

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ya, barisan bilangan seperti ini sering kita jumpai pada saat mengikuti psikotes, bagian tes melengkapi bilangan. Bagi kita yang mempunyai number sense cukup baik, biasanya tak sukar melengkapi barisan bilangan tersebut. Tetapi, bagi yang “mual” melihat barisan bilangan semacam itu, biasanya agak kesulitan melengkapinya.

Terlepas apakah kita merasa suka ataupun tidak dengan barisan bilangan, di sini saya akan bercerita sekitar barisan tersebut dan juga asal-muasalnya. Mau tahu? Kalau mau, mari kita simak bareng-bareng! (Jangan dijawab mari ya! :mrgreen: ).

Pertama kali saya mengenal barisan bilangan tersebut ketika saya baru duduk di bangku SMP kelas 3, sekitar tahun 1997, pada saat pelajaran matematika. Kata guru matematika saya, barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. Waktu itu yang dipelajari hanyalah sifat-sifatnya alias aturan tentang barisan bilangan tersebut.

Seperti apa sih aturannya?

Aturannya yaitu, diberikan dua bilangan awal yakni 1 dan 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Dalam hal ini bilangan 2 diperoleh dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya yaitu 1 + 1. Bilangan 3 diperoleh dari 1 + 2 . Begitu seterusnya! Secara sederhana, lebih jelasnya seperti berikut ini.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Dengan

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

5 = 2 + 3

8 = 3 + 5

Dan seterusnya!

Sehingga, dengan relatif mudah, bilangan setelah 21 adalah 13 + 21 = 34. Mudah bukan? :D

Sebetulnya saat belajar barisan bilangan Fibonacci ini saya sedikit bertanya tentang Fibonacci. Siapa Fibonacci itu? Kenapa muncul barisan semacam itu? Tetapi saya tak menanyakannnya ke guru saya. Seingat saya, beliau hanya mengatakan bahwa Fibonacci itu adalah seorang matematikawan. Tetapi tak lebih lanjut bercerita tentangnya dan juga tak bercerita kenapa barisan tersebut muncul. Tidak berceritanya beliau, mungkin karena belum tahu atau mungkin juga karena beliau menganggap cerita tentang Fibonacci itu tidak penting.

Waktu terus berjalan. Detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, dan tahun pun terus “merangkak”. Rentetan “kebetulan” pun kemudian terjadi!

Ketika saya menjadi mahasiswa baru, sekitar tahun 2000-an, saya ditanya-tanya (diospek) oleh kakak tingkat tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Waktu itu pertanyaannya sederhana saja, yaitu disebut apa dan bagaimana aturan barisan bilangan tersebut? Dan alhamdulillah, karena sudah dipelajari sewaktu SMP, saya pun bisa menjawabnya dengan mudah dan untuk sementara lepaslah dari jerat hukuman walau selanjutnya dipaksa push up juga. :D

Selanjutnya, sewaktu belajar Kalkulus dan juga Matematika Diskrit, saya pun mempelajari tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Tentunya dengan kedalaman materi yang sesuai. Tetapi pertanyaan saya tentang siapa Fibonacci dan latar belakang muncul barisan itu belum terjawab! Ya belum terjawab dari segi historisnya.

Lagi-lagi kebetulan terjadi! Saya yang mulanya sudah cukup puas, dan kurang begitu hirau dengan latar belakang munculnya barisan Fibonacci ini, ditanya oleh teman saya tentang barisan ini. Dan menariknya, pertanyaannya sama dengan pertanyaan saya yang sudah sejak lama terpendam tersebut. Ketika ditanya, saya pun jujur menjawab belum tahu!

Selanjutnya, dan sepertinya sudah diatur, kebetulan berikutnya pun terjadi! Bersyukur, ternyata ada seorang teman saya yang lain yang sudah tahu latar belakang tentang barisan Fibonacci tersebut. Teman saya yang sebelumnya bertanya ke saya kemudian bertanya ke teman saya yang tahu tersebut. Saya sebetulya tidak terlalu hirau, namun sayup-sayup terdengar penjelasan teman saya (yang tahu tadi) bahwa latar belakang munculnya barisan Fibonacci adalah untuk menggambarkan pertumbuhan sepasang kelinci selama setahun, yang pertama kali diajukan oleh Fibonacci, matematikawan Italia yang hidup sekitar abad 12.

Selanjutnya, setelah mendengar kabar sayup-sayup tadi, saya pun jadi penasaran lagi. Dan tidak kebetulan lagi, saya waktu itu berniat mencari tahu tentang hal tersebut. Dari dunia maya ini, lewat bantuan mesin pencari, maka rasa ingin tahu saya pun terjawab!

Oh, iya. Seperti apa sih masalah yang diajukan Fibonacci tadi yang melatarbelakangi munculnya barisan bilangan tersebut?

Permasalahan yang diajukan oleh Fibonacci itu sederhananya seperti berikut ini.

Misalkan kita tempatkan sepasang kelinci muda (satu jantan, satu lagi betina) di sebuah padang rumput. Sepasang kelinci tersebut diasumsikan tumbuh jadi dewasa dan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan. Sehingga di akhir bulan ke dua, pasangan kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci baru. Bila kita asumsikan bahwa kelinci-kelinci tersebut hidup ideal alias tidak lekas mati dan betina kelinci selalu melahirkan sepasang kelinci (satu jantan, satu betina) setiap bulan semenjak akhir bulan kedua tadi, maka akan ada berapa pasang kelinci kah dalam waktu setahun?*

Lalu, bagaimana memecahkan permasalahan ini?

Dengan relatif mudah, ternyata permasalahan tersebut dapat dijelaskan dan dijawab seperti tampak pada gambar* berikut ini

 

Keterangan Number of pairs (Banyaknya pasangan).

1 pasang: ketika awal bulan pertama (sepasang kelinci muda, baru mulai tumbuh jadi dewasa)

1 pasang: ketika akhir bulan pertama (sepasang kelinci muda tadi sudah dewasa dan mulai kawin)

2 pasang: ketika akhir bulan ke dua (sepasang kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci lagi yang serupa)

3 pasang: ketika akhir bulan ke tiga (pasangan kelinci pertama melahirkan lagi sepasang kelinci muda baru, pasangan kelinci yang bulan lalu lahir mulai tumbuh dewasa).

5 pasang: ketika akhir bulan ke empat (pasangan kelinci pertama melahirkan sepasang kelinci baru, pasangan kelinci kedua pun melahirkan sepasang kelinci baru juga, sedangkan sepasang kelinci yang lahir bulan lalu baru tumbuh dewasa).

Dan begitu seterusnya! Sehingga, dengan sangat gampang, banyaknya pasangan kelinci tiap bulan tersebut digambarkan dengan barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,.... Lalu ada berapa pasang kelinci setelah setahun? (Silakan dijawab!) :D

Nah, karena barisan bilangan tersebut muncul gara-gara pertama kali, katanya, dikemukakan oleh Fibonacci maka disebutlah barisan tersebut sebagai barisan bilangan Fibonacci.

Akhirnya, karena saya melihat barisan bilangan Fibonacci tersebut menggambarkan banyaknya pasangan kelinci yang tumbuh berkembang di suatu padang rumput yang ideal, maka dengan sedikit becanda saya sebutlah barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... sebagai barisan bilangan “kelinci”. :D :mrgreen:

========================================================

Ya sudah! Segitu dulu ya perjumpaan kita kali ini. Sampai jumpa di artikel berikutnya. Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat. Amin.

========================================================

Catatan:

* Diterjemahkan sesuka saya dari:

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits, 1 January 2008, jam 12: 10 AM.

*Gambar diambil dari: http://educ.queensu.ca/~fmc/may2002/RabFib.gif,

1 Januari 2008, jam 12: 15 AM.

========================================================

About these ads

46 Comments

Filed under Curhat, Harapan, Iseng, Kenangan, Matematika, Matematika SMP, Matematika Universitas, Menulis, Pembelajaran, Pendidikan, Pendidikan Matematika, Sains

46 responses to “Barisan Bilangan “Kelinci”

  1. supriman

    Yang pertama Komen… :D

    Klo di programming barisan+deret fibo ini biasa dipake sbg salah satu contoh dalam memahami fungsi Rekurssif (fungsi yang memanggil dirinya sendiri)
    _________
    Al Jupri says: Ya betul, barisan fibonacci ini dipelajari ketika membahas fungsi-fungsi rekursif (berulang) :D

  2. Mat tahun baru … moga bahasan matematika semakin yahud tahun 2008. Amin.
    _________
    Al Jupri: Sama-sama, dan terimakasih atas dukungannya. :D

  3. wah, eureka. saya seperti menemukan kunci dari misteri yang bertahun-tahun tak pernah saya ketahui jawabnya. makasih pak guru. selamat tahun baru, sukses untuk sampean.
    ___________
    Al Jupri says: Terimakasih Ndoro. Sama-sama, mudah-mudahan sukses juga.. :D

  4. Met Tahun Baru 2008
    Sukses selalu ya.

    Melihat gambar kelincinya, saya berpikir selembar daun hijau akan mampu melahirkan daun lainya. Maka dedaunan itu lama-lama akan berubah menjadi hutan, bukit, dan gunung.
    ________
    Al Jupri: Terimakasih mba. Sama-sama sukses ya…… :D

    Kok ngelihat selembar daun ya? Saya lihat lagi, iya juga sih kayak tumpukan daun… :D

  5. Adduh kalau orang matematika bicara teori dan hadiah ujung2nya kepada sesuatu yang baru yaitu deret hitung ituh…

    Duh seneng banget siapa dia??? kapan2 datang lagi ah kali aja cerita bagaiamana reaksi dari hadiah artikel ini.. :)
    ______________
    Al Jupri says: Siapa dia ya? Sssst, rahasia mr. Kurt :D Kayaknya dia ga bakalan deh ngasih komen di sini. Paling di YM :D Hehehe…

  6. Bang! saya gak ngerti matematika, tapi boleh komen yaaaaa?!

    Kepada si”DIA”, pasti tersanjung sekali.. hehehehehe.. beginilah gaya ber-puisi orang matematika.. hahahahahaha.. maaf bang OOT!
    _________
    Al Jupri says: Iya ga apa-apa. Dengan senang hati dipersilakan komen…. :D. Hahaha… iya kali,mungkin si dia bakalan tersanjung…. :D

  7. bikin komentar di postingan ini mesti butuh dasar2 matematik yang bagus kayaknya ya, pak, hehehehe :lol: padahal, matematika selalu ancur *malu*
    bikin cerita tom lagi, pak, saya seneng tuh yang cerita2 kayak getuh, hehehehe :lol:
    _______
    Al Jupri says: Ah engga juga kok, Pak :D . Insya Allah, saya akan bikin cerita tentang si Tom. Ada ide engga nih Pak? :D

  8. ralat dikit, pak, hehehehe :lol: yang ancur nilai matematikaku,heheheh *malu lagi*
    *maaf OOT nih, Pak*
    ________
    Al Jupri: Ga OOT kok Pak? :D

  9. Tahun baru , semangat baru, rencana baru. semoga tahun ini memberikan kebaikan kepada kita semua.

    salam
    ___________
    Al Jupri: Amin. Sama-sama semangat baru ya……….. Salam juga. :D

  10. Oooooo…. kelincinya si fibonacci berkembang biak mengikuti pola Fibonacci tho? Baru tahu aku, canggih juga itu kelinci nggak perlu ikut family planning lagi dong ya! :mrgreen:

    mode serius ON

    Ada nggak ya, aplikasi di dunia nyata yang melibatkan deretan fibonacci??

    mode serius OFF

    __________
    Al Jupri says: Hahahaha…. iya kelinci ga usah ikutan family planning…. kan enak tuh dimakan dagingnya…. :D

    Mmmh, aplikasi di dunia nyata ya? Ada tuh di dunia programming (tanya aja ke mas Supriman, kayaknya dia tahu tuh… :D ). Dalam matematika juga ada, ketika membahas fungsi-fungsi rekursif… .

  11. Wah, tambah pengetahuanku nih..
    Salam kenal ya..
    Happy new years..
    Trus, saya juga pernah dengar katanya ada barisan fibonacci derajat tiga. Jelasin donk?
    _______
    Al Jupri says: Salam kenal juga… happy juga…. Barisan Fibonacci pangkat tiga ya? Hmmmh… entar deh ya kapan-kapan (ga tahu kapan) kalau saya sempat tahu dibahas di sini… :D

  12. little_@

    Met Tahun Baru, Pak Jupri.
    Saya pikir, dulu, Fibonaci itu cuma main2 nyusun bilangan … kemudian dinamai deh ma namanya.. so jadinya lahir barisan fibonacci itu.
    _______
    Al Jupri says: Terimakasih. Gpp. Sama-sama. Nah, sekarang jadi tahu bukan? :D

  13. adipati kademangan

    ini sebenernya mau cerita fibonacci, kelinci ato si dia ?
    ato begini … begini … si dia suka sama kelinci lagi belajar fibonacci ?
    ato begini … … si dia keturunan fibonacci yang punya piaraan kelinci ?
    ato begini … … … fibonacci mengarang kelinci agar mengantarkan Mas Al Jupri ke si dia ?
    _______
    Al Jupri: Mau cerita semuanya. Digabung jadi artikel ini…. :D

  14. Memang betul jaman sekolah dulu kalau kita tanya siapa Fibonacci? Jawabannya cuma seorang ahli matematika.Thanks, jadi tahu siapa Fibonacci gerangan…

    _________________
    Al Jupri says: Sama-sama thanks ya….. :D

  15. Analogi yang pintar, saya dulu pernah di kejut kan dengan disuruh membuat deretan fibbonaci dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal, biasanya pakai pascal triangle disini:
    http://goldennumber.net/pascal.htm

    kalo ngga salah algoritmanya jadi:
    int fib(int n)
    {
    if (n <= 2) return 1
    else return fib(n-1) + fib(n-2)
    }

    Sorry kalo salah, ini juga lupa, :P
    _____________
    Al Jupri says: Terimakasih mas Raffael, bikin artikel ini makin kaya… :D. Thanks ya link (saya baru tahu juga nih) dan tambahan tentang pemrogramannya…… :D

  16. assalaamu ‘alaikum Prof… :mrgreen:
    Salam kenal -lagi- dari saya. Maaf, saya terbilang sangat OOT kalau matematika, tapi pas baca postingan ini, seger dan mudah mencernanya gitu, beneran! Sumpeh… *berlebihan MODe ON*

    Mohon ijin kalau saya sering berkunjung ke mari…
    ___________
    Al Jupri: Wa’alaikum salam. Dengan senang hati ditunggu kedatangan berikutnya…. :D

  17. @raffaell: Iya betul, saya juga dulu awal2 pengenalan rekursif dikasih soal yang sama… Belakangan fungsi tersebut ternyata memiliki Running Time yang tinggi, dan kemudian diperbaiki dengan kode sbb (dalam bahasa C):

    long Ufibo (int n)
    {
    int i;
    long last,next_last,answer;

    last = 1;
    next_last = 1;
    if(n==0 || n==1)
    answer=1;
    else {
    for(i=2;i<=n;i++) {
    answer = last + next_last;
    next_last = last;
    last = answer;
    }
    }
    return(answer);
    }

    Tapi fungsi di atas sudah bukan fungsi rekursif lagi :D

  18. pilih kelinci karena dikenal doyan kawin kali ya? kan jadi simbol playboy juga… :mrgreen:
    _________
    Al Jupri says: Wakakakakaka…….. :mrgreen: Hmmmmh, kalau suka tidaknya kawin, ayam juga suka kawin. Kenapa ga ayam aja ya…? Atau mungkin karena kelinci anaknya banyak…. :D

  19. wah satu lagi orang yang membuat saya menjadi tidak takut dengan matematika. huhuhu
    makasih udah mengenalkan saya dengan Fibonacci, walaupun saya baru pertama kali di sini. sempet seyum2 juga ngeliat zero gede2 diatas. huhuhu

    seandainya teori ini berlaku juga untuk populasi penduduk wihhhh nggak kebayang deh desek2nya.
    tapi mudah2an teori ini berlaku untuk dunia blogger jadi makin banyak yang nulis tulisan2 keren seperti ini.

    minta ijin nge link yah… ;)
    ________
    Al Jupri says: Sama-sama terimakasih. Slaam kenal ya…. Oh, iya, tentang populasi penduduk, silakan baca di sini klik aja!. Ijin nge-link dipersilakan. :D

  20. baca judulnya saja aku sudah pusing….
    ________
    Al Jupri: Hehehe.. jangan judulnya aja dong mas yang dibaca. :D

  21. saya jadi pingin coba, kalau contohnya pake ayam dan bukan kelinci, apa akan tercipta deret baru….
    _________
    Al Jupri: Menarik tuh… saya juga belum tahu… :D

  22. brain90

    @arja :
    saya jadi pingin coba, kalau contohnya pake ayam dan bukan kelinci, apa akan tercipta deret baru….

    Bisa mas,
    jadi nama deretnya : AyamNacci atau bebekNacci

  23. hihih ini cerita bukan tentang kelinci kawin kan??? :)
    __________
    Al Jupri: Hihihi… iya… :D

  24. 12 324 556 6554 78 5443 6 7 89 00 965 334 677 888

    bisa baca kaga’

    tuh artinya

    ” maaf saya ngawur”

  25. saya penggemar bilangan fibonacci dr esde dulu. unik sih. suka bikin kode2 dengan angka di-fibonacci-kan. hehehe. baru tau kisahnya dari sini. ck ck ck.. (bukan lg manggil chika).. keren pisan. makasih makasih. tapi pembagian bilangan fibonacci antara satu angka dengan angka sebelumnya jika terus ditelusuri lama2 menghasilkan bilangan yang sama, yaitu The Golden Ratio a.k.a phi.

    anyway, salam kenal dulu ya mas. saya di den haag. winter sale di kota anda sudah berakhir kah? hehe.. naluri wanita….

  26. Persaan ngak diperbaharui he he

    __________
    Al Jupri says: Bentar Pak, sedang musim2 ujian nih…. harus fokus……. :D

  27. Pak Jupri juga lagi ketularan penyakit malas nulis ya :mrgreen:

    Ayo, dong, semangat!!! semangat!!!
    _________
    Al Jupri says: Bentar mba…… sedang musim2 ujian nih…….. harus fokus……… :D

  28. Enggak nyangka sama sekali deretan itu dulunya buat kelinci…!
    Fibonacci itu matematikawan atau peternak? hehehe..
    ________
    Al Jupri: :D

  29. wah, seneng bisa belajar sambil cuci mata, he…
    thaks ya, udah bantu nambah pengetahuan
    lam kenal……^-^……

  30. pie

    opo ora ngrumput

  31. cipto

    Assalamu’alaikum
    Dah aga sering buka blog ini, baru sekarang ikut nimbrung setelah ketika kemaren ketemu teman di Serang yaitu Bapak Istiadi yang menjelaskan bahwa Al Jupri adalah muridnya, saya jadi lebih respek sama ananda. Sukses deh buat Anda. Salam kenal dari saya, temannya pak Istiadi. Pak Sucipto Bandung. Oya, sekarang kegiatannya apa?

  32. @Cipto: Wa’alaikum salam. Iya, benar, Pak. Saya murid beliau. Beliau adalah guru matematika SMA saya.

    Salam kenal ya, Pak!

    Sekarang, saya kerja di UPI (Universitas Pendidikan Indonesia). :D

  33. Gitu to mas, ceritane bilangan fibnachi. oya mas. Saya koq lom tahu rumus suku ke-n barisan bilangan fibonaci. Ada yang tahu. Trim

  34. Tark080911

    ya……..begitulah …. selalu !!!!!!!!!!!

  35. zul

    Karena belum ada yang jawab pertanyaan den baguse_Marso (8/2) maka saya coba jawab, rumus Fibonacci suku ke-n (nilai pendekatan):

    fib(n) = (1.618033989)^n/√5, untuk n≥5

    Selamat mencoba!
    Salam,

  36. Bilangan Fibonacci ini milik yang kuasa selain teori tersebut ada lagi ciptaanNya adalah pada bunga matahari, dan jaring laba-laba

  37. jurio

    bagaimana buat soal ini:

  38. jurio

    bagaimana buat soal ini,,,,,bilangan FIBONACI dibuat ke dalam bahasa pascal

  39. Anonymous

    apakah hubunagan antara jumlah suku ke-20 dengan suku ke-7 dan tolong apa hubungan antara suku ke-n dengan suku ke-n+1

  40. Pas banget contohnya pakai kelinci. Thanks.

  41. ternyata kalah juga saya sama kelinci. semprul ah

  42. nur

    salam kenal sebelumnya, pak.
    alhamdulillah, saya kini jd tahu ttg barisan fibonnaci, ternyata asal-usulnya seperti itu..
    this is insight for me…
    thank you..
    i love mathematic..

  43. ika

    Assalamualaikum…….
    Alhamdulillah……… akhirnya terpecahkan jg misteri fibonacci… nambah wawasan nie… nice info…!!! mkasih..

  44. insan

    jazakallah…menarik sekali,,,bisa menambah pengetahuan..

  45. itu bilangan fibbonanci yah min , di pljrin di kls brp ?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s